Jacobin matriisi

Jacobin matriisi on matriisi, joka kuvaa muunnoksen kahden avaruuden välillä. Se on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Gustav Jacobin mukaan. ^[1]

Koordinaatistomuunnoksen lisäksi Jacobin matriisin merkitys tulee siitä, että se kuvaa annetun funktion parasta lineaarista approksimaatiota annetussa pisteessä, mistä syystä se esiintyy monissa numeerisen matematiikan sovelluksissa. Jacobin matriisilla on myös suuri merkitys dynaamisten systeemien tutkimuksessa, sillä sen avulla voidaan tutkia systeemin dynamiikkaa attraktorin läheisyydessä.

Muunnoksen F : Rⁿ → R^m eli kuvauksen ${\displaystyle n}$-ulotteisesta avaruudesta, jonka koordinaatit ovat ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle m}$-ulotteiseen avaruuteen, jonka koordinaatit ovat ${\displaystyle y_{i}}$ kuvaa Jacobin matriisi

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

Huomattakoon erityisesti, ettei Jacobin matriisin tarvitse olla neliömatriisi. Jacobin matriisi merkitään usein kompaktimpaan muotoon

${\displaystyle J={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$.

Jacobin matriisin determinanttia kutsutaan Jacobin (funktionaali)determinantiksi. Niissä pisteissä, joissa muunnoksen F determinantti eroaa nollasta, kuvaus on kääntyvä eli käänteiskuvaus F^-1 : R^m → Rⁿ on olemassa. Dynamiikkaa tutkittaessa on yleensä kiinnostavaa tietää, eroaako Jacobin determinantti ykkösestä, sillä se kertoo, säilyttääkö systeemi faasiavaruuden tilavuuden.

1. ↑ Viittausvirhe: Virheellinen <ref>-elementti; viitettä p1 ei löytynyt